Erreicht: der beste bekannte Wert
19 Einheitsquadrate in einem Quadrat packen
Wie klein kann ein Quadrat sein, das 19 Quadrate der Seitenlänge 1 ohne Überlappung aufnimmt? Die beste bekannte Antwort ist die Seitenlänge 4,8856180832, von Robert Wainwright, 1979. Velmar Cut hat sie erreicht.
Die Zahlen
| Beste bekannte Seitenlänge | 4,8856180832 |
|---|---|
| Beste bekannte Seitenlänge, vollständig | 4,88561808316412 |
| Seitenlänge von Velmar Cut | 4,8856180832 |
| Seitenlänge von Velmar Cut, vollständig | 4,885618083164925 |
| Differenz, Velmar Cut minus bester bekannter Wert | +8.050E-13 |
| Gefunden von | Robert Wainwright, 1979 |
| Status | Bester bekannter Wert, nicht bewiesen |
| Zeit bis zum Ergebnis | 13,528 s, ein Lauf |
| Verwendete Threads | 16 |
| Rechner | Intel Core i5-12600K, 10 Kerne, 16 Threads |
| Quadrate | 10 aufrecht, 9 gedreht |
| Ein einfaches Raster braucht | Seitenlänge 5 |
Die Zeit bis zu diesem Ergebnis auf einem Desktop-PC.
Das Problem bei 19 Quadraten
Wie bei 17 und 18 braucht ein einfaches Raster Seitenlänge 5. Die beste bekannte Seitenlänge ist 3 + (4/3)√2. Diese Anordnung hat zehn aufrechte und neun gedrehte Quadrate, fast eine gleichmäßige Aufteilung.
Ein einfaches Raster: Seitenlänge 5
Bester bekannter Wert: Seitenlänge 4,8856180832
Blaue Quadrate stehen aufrecht, orange Quadrate sind gedreht. Beide Bilder haben denselben Maßstab.
Geschichte
Der beste bekannte Wert bei dieser Größe ist das Ergebnis von Robert Wainwright, 1979, und dieses Ergebnis hat Velmar Cut erreicht.
Die Quelltabelle nennt keinen Beweis, dass diese Seitenlänge optimal ist: Friedmans Übersicht von 2009 nennt 4,4852 als beste untere Schranke (Erich Friedman), ein kleineres Quadrat kann also noch existieren.
Die Packung von Robert Wainwright beruht auf den diagonalen Streifen, die Charles F. Cottingham früher im Jahr 1979 eingeführt hatte, und der Wert hat seitdem Bestand.
| Wann | Seitenlänge | Wer | Was geschah |
|---|---|---|---|
| Anfang 1979 | 4 + (2/3)√2 ≈ 4,94281 | Frits Göbel | erste Packung |
| Anfang 1979 | 7/2 + √2 ≈ 4,91421 | Charles F. Cottingham | verbessert, die erste mit diagonalen Streifen der Breite 2 |
| Ende 1979 | 3 + (4/3)√2 ≈ 4,88562 | Robert Wainwright | verbessert, heute bester bekannter Wert; der Erste von vielen, die sie in jenem Jahr unabhängig fanden |
| 1984 | ≈ 4,88811 | Walter R. Stromquist | keine Verbesserung |
| 2002 | gleiche Seitenlänge wie heute | David W. Cantrell | Alternativen, einige mit den wenigsten gedrehten Quadraten |
Quellen
Die besten bekannten Werte stammen aus „Squares in Squares“ von David Ellsworth, nach dem Original von Erich Friedman.
Zu jeder Größe steht, von wem ihr Wert stammt und seit wann. Deren Ergebnis hat Velmar Cut erreicht.
Ist die Packung gültig?
Ja. Das Zertifikat besteht die exakte Prüfung: 19 Teile, jedes exakt ein Einheitsquadrat, jedes im Rahmen, keine zwei überlappend.
Wie nah ist sie am besten bekannten Wert?
Seitenlänge von Velmar Cut minus bester bekannter Wert ergibt +8.050E-13, innerhalb der 1E-11 aus der Regel.
Erreicht heißt: Das Zertifikat besteht die exakte Prüfung, und |L - bester bekannter Wert| <= 1E-11, wobei die Differenz für jede Größe ungerundet veröffentlicht wird. L ist die Seitenlänge des Rahmens im Zertifikat, auf 15 Dezimalstellen aufgerundet.
Downloads
Die Seitenlängen in der CSV sind in Einheiten einer Quadratseite angegeben. DXF und DWG sind in Millimetern, mit Quadraten von 100 mm.
Sie müssen uns nicht vertrauen
Mit reinem Python und ohne weitere Software prüft verify_exact.py neben dem Zertifikat die Datei oben mit exakter Arithmetik, ohne Rundung.
python verify_exact.py 19-squares-in-a-square.csv --squares=19 --reference=4.88561808316412 --epsilon=1e-11Es beweist nicht, dass die Packung optimal ist, dass der Referenzwert der aktuell beste bekannte Wert ist oder wie die Anordnung gefunden wurde.
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