Erreicht: der beste bekannte Wert
18 Einheitsquadrate in einem Quadrat packen
Wie klein kann ein Quadrat sein, das 18 Quadrate der Seitenlänge 1 ohne Überlappung aufnimmt? Die beste bekannte Antwort ist die Seitenlänge 4,8228756555, von Pertti Hämäläinen, 1980. Velmar Cut hat sie erreicht.
Die Zahlen
| Beste bekannte Seitenlänge | 4,8228756555 |
|---|---|
| Beste bekannte Seitenlänge, vollständig | 4,82287565553229 |
| Seitenlänge von Velmar Cut | 4,8228756555 |
| Seitenlänge von Velmar Cut, vollständig | 4,822875655533110 |
| Differenz, Velmar Cut minus bester bekannter Wert | +8.200E-13 |
| Gefunden von | Pertti Hämäläinen, 1980 |
| Status | Bester bekannter Wert, nicht bewiesen |
| Zeit bis zum Ergebnis | 0,471 s, ein Lauf |
| Verwendete Threads | 16 |
| Rechner | Intel Core i5-12600K, 10 Kerne, 16 Threads |
| Quadrate | 12 aufrecht, 6 gedreht |
| Ein einfaches Raster braucht | Seitenlänge 5 |
Die Zeit bis zu diesem Ergebnis auf einem Desktop-PC.
Das Problem bei 18 Quadraten
Ein Quadrat mehr als bei 17, und die Seitenlänge hat wieder eine geschlossene Form: 7/2 + ½√7, mit √7 anstelle des üblicheren √2. Ein einfaches Raster braucht weiter Seitenlänge 5. Diese Anordnung hat zwölf aufrechte und sechs gedrehte Quadrate, und dieselbe Form kehrt bei 53 wieder.
Ein einfaches Raster: Seitenlänge 5
Bester bekannter Wert: Seitenlänge 4,8228756555
Blaue Quadrate stehen aufrecht, orange Quadrate sind gedreht. Beide Bilder haben denselben Maßstab.
Geschichte
Der beste bekannte Wert bei dieser Größe ist das Ergebnis von Pertti Hämäläinen, 1980, und dieses Ergebnis hat Velmar Cut erreicht.
Diese Seitenlänge ist die beste bekannte, aber nicht als optimal bewiesen; die beste untere Schranke in Friedmans Übersicht von 2009 lag bei 4,4452 (Trevor Green), es bleibt also Raum für ein kleineres Quadrat.
In den Packungen von Pertti Hämäläinen und Mats Gustafsson sind die mittleren Quadrate um etwa 24,295 Grad gedreht.
| Wann | Seitenlänge | Wer | Was geschah |
|---|---|---|---|
| Anfang 1979 | 2 + 2√2 ≈ 4,82843 | Frits Göbel | erste Packung |
| 1980 | 7/2 + ½√7 ≈ 4,82288 | Pertti Hämäläinen | verbessert, heute bester bekannter Wert |
| 1981 | gleiche Seitenlänge | Mats Gustafsson | Alternative mit den wenigsten gedrehten Quadraten |
| September 2002 | gleiche Seitenlänge | David W. Cantrell | Alternative |
| April 2004 | gleiche Seitenlänge | Thierry Gensane und Philippe Ryckelynck | Alternative |
| Dezember 2024 | 2 + 2√2 ≈ 4,82843 | David Ellsworth | starre Alternative bei Göbels Seitenlänge, keine Verbesserung |
Quellen
Die besten bekannten Werte stammen aus „Squares in Squares“ von David Ellsworth, nach dem Original von Erich Friedman.
Zu jeder Größe steht, von wem ihr Wert stammt und seit wann. Deren Ergebnis hat Velmar Cut erreicht.
Ist die Packung gültig?
Ja. Das Zertifikat besteht die exakte Prüfung: 18 Teile, jedes exakt ein Einheitsquadrat, jedes im Rahmen, keine zwei überlappend.
Wie nah ist sie am besten bekannten Wert?
Seitenlänge von Velmar Cut minus bester bekannter Wert ergibt +8.200E-13, innerhalb der 1E-11 aus der Regel.
Erreicht heißt: Das Zertifikat besteht die exakte Prüfung, und |L - bester bekannter Wert| <= 1E-11, wobei die Differenz für jede Größe ungerundet veröffentlicht wird. L ist die Seitenlänge des Rahmens im Zertifikat, auf 15 Dezimalstellen aufgerundet.
Downloads
Die Seitenlängen in der CSV sind in Einheiten einer Quadratseite angegeben. DXF und DWG sind in Millimetern, mit Quadraten von 100 mm.
Sie müssen uns nicht vertrauen
Mit reinem Python und ohne weitere Software prüft verify_exact.py neben dem Zertifikat die Datei oben mit exakter Arithmetik, ohne Rundung.
python verify_exact.py 18-squares-in-a-square.csv --squares=18 --reference=4.82287565553229 --epsilon=1e-11Es beweist nicht, dass die Packung optimal ist, dass der Referenzwert der aktuell beste bekannte Wert ist oder wie die Anordnung gefunden wurde.
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Installieren Sie Velmar Cut, geben Sie Teile und Rohmaterial eines laufenden Auftrags ein und drucken Sie die Zuschnittliste. Der Testzeitraum beginnt beim ersten Start und braucht weder Konto noch Karte.