Erreicht: der beste bekannte Wert
11 Einheitsquadrate in einem Quadrat packen
Wie klein kann ein Quadrat sein, das 11 Quadrate der Seitenlänge 1 ohne Überlappung aufnimmt? Die beste bekannte Antwort ist die Seitenlänge 3,8770835900, von Walter Trump, 1979. Velmar Cut hat sie erreicht.
Die Zahlen
| Beste bekannte Seitenlänge | 3,8770835900 |
|---|---|
| Beste bekannte Seitenlänge, vollständig | 3,87708359002281 |
| Seitenlänge von Velmar Cut | 3,8770835900 |
| Seitenlänge von Velmar Cut, vollständig | 3,877083590023390 |
| Differenz, Velmar Cut minus bester bekannter Wert | +5.800E-13 |
| Gefunden von | Walter Trump, 1979 |
| Status | Bester bekannter Wert, nicht bewiesen |
| Zeit bis zum Ergebnis | 1,762 s, ein Lauf |
| Verwendete Threads | 16 |
| Rechner | Intel Core i5-12600K, 10 Kerne, 16 Threads |
| Quadrate | 6 aufrecht, 5 gedreht |
| Ein einfaches Raster braucht | Seitenlänge 4 |
Die Zeit bis zu diesem Ergebnis auf einem Desktop-PC.
Das Problem bei 11 Quadraten
Für ein einfaches Raster genügt weiterhin Seitenlänge 4, mit freiem Platz. Die beste bekannte Seitenlänge hat hier keine knappe geschlossene Form: Sie ist eine Nullstelle eines Polynoms 8. Grades. Diese Anordnung hat sechs aufrechte und fünf gedrehte Quadrate.
Ein einfaches Raster: Seitenlänge 4
Bester bekannter Wert: Seitenlänge 3,8770835900
Blaue Quadrate stehen aufrecht, orange Quadrate sind gedreht. Beide Bilder haben denselben Maßstab.
Geschichte
Der beste bekannte Wert bei dieser Größe ist das Ergebnis von Walter Trump, 1979, und dieses Ergebnis hat Velmar Cut erreicht.
Die Quelltabelle nennt keinen Beweis, dass diese Seitenlänge optimal ist: Friedmans Übersicht von 2009 nennt 3,7888 als beste untere Schranke (Walter Stromquist), ein kleineres Quadrat kann also noch existieren.
Viele fanden die Packung von Walter Trump unabhängig voneinander, und die Entdeckung wurde fälschlich Gustafson und Thule zugeschrieben. Ihre mittleren Quadrate sind um etwa 40,182 Grad gedreht, mit einem kleinen Spalt dazwischen. Sie ist starr: Ohne das umgebende Quadrat in der Größe zu ändern, führt von ihr kein Weg zu einer anderen gültigen Packung.
| Wann | Seitenlänge | Wer | Was geschah |
|---|---|---|---|
| Anfang 1979 | 5/2 + √2 ≈ 3,91421 | Frits Göbel | erste Packung |
| 1979 | gleiche Seitenlänge | Charles F. Cottingham | Alternative mit den wenigsten gedrehten Quadraten, dokumentiert von Martin Gardner im Oktober 1979 |
| 1979 | ≈ 3,87708 | Walter Trump | verbessert, heute bester bekannter Wert, starr |
| 1980 | 2 + (4/3)√2 ≈ 3,88562 | Pertti Hämäläinen | keine Verbesserung des besten bekannten Werts; Walter R. Stromquist bewies 2002, dass sie unter den Packungen bei 45 Grad optimal ist |
Quellen
Die besten bekannten Werte stammen aus „Squares in Squares“ von David Ellsworth, nach dem Original von Erich Friedman.
Zu jeder Größe steht, von wem ihr Wert stammt und seit wann. Deren Ergebnis hat Velmar Cut erreicht.
Ist die Packung gültig?
Ja. Das Zertifikat besteht die exakte Prüfung: 11 Teile, jedes exakt ein Einheitsquadrat, jedes im Rahmen, keine zwei überlappend.
Wie nah ist sie am besten bekannten Wert?
Seitenlänge von Velmar Cut minus bester bekannter Wert ergibt +5.800E-13, innerhalb der 1E-11 aus der Regel.
Erreicht heißt: Das Zertifikat besteht die exakte Prüfung, und |L - bester bekannter Wert| <= 1E-11, wobei die Differenz für jede Größe ungerundet veröffentlicht wird. L ist die Seitenlänge des Rahmens im Zertifikat, auf 15 Dezimalstellen aufgerundet.
Downloads
Die Seitenlängen in der CSV sind in Einheiten einer Quadratseite angegeben. DXF und DWG sind in Millimetern, mit Quadraten von 100 mm.
Sie müssen uns nicht vertrauen
Mit reinem Python und ohne weitere Software prüft verify_exact.py neben dem Zertifikat die Datei oben mit exakter Arithmetik, ohne Rundung.
python verify_exact.py 11-squares-in-a-square.csv --squares=11 --reference=3.87708359002281 --epsilon=1e-11Es beweist nicht, dass die Packung optimal ist, dass der Referenzwert der aktuell beste bekannte Wert ist oder wie die Anordnung gefunden wurde.
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Installieren Sie Velmar Cut, geben Sie Teile und Rohmaterial eines laufenden Auftrags ein und drucken Sie die Zuschnittliste. Der Testzeitraum beginnt beim ersten Start und braucht weder Konto noch Karte.