Erreicht: der beste bekannte Wert
69 Einheitsquadrate in einem Quadrat packen
Wie klein kann ein Quadrat sein, das 69 Quadrate der Seitenlänge 1 ohne Überlappung aufnimmt? Die beste bekannte Antwort ist die Seitenlänge 8,8271946557, von hmbelvedere, optimiert von David Ellsworth, 2026. Velmar Cut hat sie erreicht.
Die Zahlen
| Beste bekannte Seitenlänge | 8,8271946557 |
|---|---|
| Beste bekannte Seitenlänge, vollständig | 8,82719465572973 |
| Seitenlänge von Velmar Cut | 8,8271946557 |
| Seitenlänge von Velmar Cut, vollständig | 8,827194655731615 |
| Differenz, Velmar Cut minus bester bekannter Wert | +1.885E-12 |
| Gefunden von | hmbelvedere, optimiert von David Ellsworth, 2026 |
| Status | Bester bekannter Wert, nicht bewiesen |
| Zeit bis zum Ergebnis | 135,027 s, ein Lauf |
| Verwendete Threads | 6 |
| Rechner | Intel Core i5-12600K, 10 Kerne, 16 Threads |
| Quadrate | 50 aufrecht, 19 gedreht |
| Ein einfaches Raster braucht | Seitenlänge 9 |
Die Zeit bis zu diesem Ergebnis auf einem Desktop-PC.
Das Problem bei 69 Quadraten
Fünf Quadrate mehr, als ein Raster der Seitenlänge 8 fasst, also braucht das einfache Raster Seitenlänge 9. Die Quelltabelle nennt die beste bekannte Seitenlänge als Nullstelle eines Polynoms 38. Grades, etwa 0,17 kürzer als 9; der Wert stammt vom September 2026. Diese Anordnung hat fünfzig aufrechte und neunzehn gedrehte Quadrate.
Ein einfaches Raster: Seitenlänge 9
Bester bekannter Wert: Seitenlänge 8,8271946557
Blaue Quadrate stehen aufrecht, orange Quadrate sind gedreht. Beide Bilder haben denselben Maßstab.
Geschichte
Der beste bekannte Wert bei dieser Größe ist das Ergebnis von hmbelvedere, optimiert von David Ellsworth, 2026, und dieses Ergebnis hat Velmar Cut erreicht.
Bester bekannter Wert, nicht bewiesen: Die unteren Schranken in Friedmans Übersicht von 2009 decken 65 bis 68 und 79 bis 80 ab, aber nicht 69, für diese Größe nennt sie also keine.
Im Juli 2026 verbesserte hmbelvedere diese Packung, und im September 2026 optimierte David Ellsworth sie. Sie geht auf die Packung von Maurizio Morandi vom Juni 2010 zurück, die David W. Cantrell im August 2023 verbesserte.
| Wann | Seitenlänge | Wer | Was geschah |
|---|---|---|---|
| 1997 | 5/2 + (9/2)√2 ≈ 8,863961 | Erich Friedman | gefunden |
| September 2002 | ≈ 8,856180 | David W. Cantrell | verbessert |
| Juni 2010 oder etwas früher | ≈ 8,851093 | Maurizio Morandi | verbessert, offenbar von ihm |
| Juni 2010 oder etwas früher | ≈ 8,848790 | Maurizio Morandi | verbessert, ergänzt eine L-Form zu einer Packung von David W. Cantrell |
| Juni 2010 | ≈ 8,828687 | Maurizio Morandi | verbessert |
| August 2023 | ≈ 8,827212 | David W. Cantrell | verbessert |
| November 2024 | ≈ 8,841165 | David Ellsworth | keine Verbesserung des besten bekannten Werts |
| Juli 2026 | ≈ 8,827205 | hmbelvedere | verbessert |
| September 2026 | ≈ 8,827208 | David Ellsworth | erneut gefunden |
| September 2026 | ≈ 8,827195 | David Ellsworth | optimiert, heute bester bekannter Wert |
Quellen
Die besten bekannten Werte stammen aus „Squares in Squares“ von David Ellsworth, nach dem Original von Erich Friedman.
Zu jeder Größe steht, von wem ihr Wert stammt und seit wann. Deren Ergebnis hat Velmar Cut erreicht.
Ist die Packung gültig?
Ja. Das Zertifikat besteht die exakte Prüfung: 69 Teile, jedes exakt ein Einheitsquadrat, jedes im Rahmen, keine zwei überlappend.
Wie nah ist sie am besten bekannten Wert?
Seitenlänge von Velmar Cut minus bester bekannter Wert ergibt +1.885E-12, innerhalb der 1E-11 aus der Regel.
Erreicht heißt: Das Zertifikat besteht die exakte Prüfung, und |L - bester bekannter Wert| <= 1E-11, wobei die Differenz für jede Größe ungerundet veröffentlicht wird. L ist die Seitenlänge des Rahmens im Zertifikat, auf 15 Dezimalstellen aufgerundet.
Downloads
Die Seitenlängen in der CSV sind in Einheiten einer Quadratseite angegeben. DXF und DWG sind in Millimetern, mit Quadraten von 100 mm.
Sie müssen uns nicht vertrauen
Mit reinem Python und ohne weitere Software prüft verify_exact.py neben dem Zertifikat die Datei oben mit exakter Arithmetik, ohne Rundung.
python verify_exact.py 69-squares-in-a-square.csv --squares=69 --reference=8.82719465572973 --epsilon=1e-11Es beweist nicht, dass die Packung optimal ist, dass der Referenzwert der aktuell beste bekannte Wert ist oder wie die Anordnung gefunden wurde.
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Installieren Sie Velmar Cut, geben Sie Teile und Rohmaterial eines laufenden Auftrags ein und drucken Sie die Zuschnittliste. Der Testzeitraum beginnt beim ersten Start und braucht weder Konto noch Karte.