Erreicht: der beste bekannte Wert
67 Einheitsquadrate in einem Quadrat packen
Wie klein kann ein Quadrat sein, das 67 Quadrate der Seitenlänge 1 ohne Überlappung aufnimmt? Die beste bekannte Antwort ist die Seitenlänge 8,7071067812, von Evert Stenlund, 1980. Velmar Cut hat sie erreicht.
Die Zahlen
| Beste bekannte Seitenlänge | 8,7071067812 |
|---|---|
| Beste bekannte Seitenlänge, vollständig | 8,70710678118654 |
| Seitenlänge von Velmar Cut | 8,7071067812 |
| Seitenlänge von Velmar Cut, vollständig | 8,707106781190623 |
| Differenz, Velmar Cut minus bester bekannter Wert | +4.083E-12 |
| Gefunden von | Evert Stenlund, 1980 |
| Status | Bester bekannter Wert, nicht bewiesen |
| Zeit bis zum Ergebnis | 2,907 s, ein Lauf |
| Verwendete Threads | 8 |
| Rechner | Intel Core i5-12600K, 10 Kerne, 16 Threads |
| Quadrate | 57 aufrecht, 10 gedreht |
| Ein einfaches Raster braucht | Seitenlänge 9 |
Die Zeit bis zu diesem Ergebnis auf einem Desktop-PC.
Das Problem bei 67 Quadraten
Drei Quadrate mehr, als ein Raster der Seitenlänge 8 fasst, also braucht das einfache Raster Seitenlänge 9. Diese Anordnung hat zehn Quadrate bei 45 Grad und siebenundfünfzig aufrechte. Die Seitenlänge 8 + ½√2 ist genau eins größer als bei 52.
Ein einfaches Raster: Seitenlänge 9
Bester bekannter Wert: Seitenlänge 8,7071067812
Blaue Quadrate stehen aufrecht, orange Quadrate sind gedreht. Beide Bilder haben denselben Maßstab.
Geschichte
Der beste bekannte Wert bei dieser Größe ist das Ergebnis von Evert Stenlund, 1980, und dieses Ergebnis hat Velmar Cut erreicht.
Diese Seitenlänge ist die beste bekannte, aber nicht als optimal bewiesen; die beste untere Schranke in Friedmans Übersicht von 2009 lag bei 8,2899 (Trevor Green), es bleibt also Raum für ein kleineres Quadrat.
Die Übersicht von Erich Friedman aus dem Jahr 2009 führt diese Größe unter dem Namen von Frits Göbel, die heutige Tabelle nennt Evert Stenlund.
| Wann | Seitenlänge | Wer | Was geschah |
|---|---|---|---|
| Anfang 1980 | 8 + ½√2 ≈ 8,70711 | Evert Stenlund | erweitert Göbels 52-Quadrate-Packung, heute bester bekannter Wert |
| Juni 2023 | gleiche Seitenlänge | David W. Cantrell | Alternative mit den wenigsten gedrehten Quadraten |
| Dezember 2024 | 8 + 5/7 ≈ 8,71429 | David Ellsworth | keine Verbesserung; eine der ersten ernsthaften Packungen mit rationaler Seitenlänge |
Quellen
Die besten bekannten Werte stammen aus „Squares in Squares“ von David Ellsworth, nach dem Original von Erich Friedman.
Zu jeder Größe steht, von wem ihr Wert stammt und seit wann. Deren Ergebnis hat Velmar Cut erreicht.
Ist die Packung gültig?
Ja. Das Zertifikat besteht die exakte Prüfung: 67 Teile, jedes exakt ein Einheitsquadrat, jedes im Rahmen, keine zwei überlappend.
Wie nah ist sie am besten bekannten Wert?
Seitenlänge von Velmar Cut minus bester bekannter Wert ergibt +4.083E-12, innerhalb der 1E-11 aus der Regel.
Erreicht heißt: Das Zertifikat besteht die exakte Prüfung, und |L - bester bekannter Wert| <= 1E-11, wobei die Differenz für jede Größe ungerundet veröffentlicht wird. L ist die Seitenlänge des Rahmens im Zertifikat, auf 15 Dezimalstellen aufgerundet.
Downloads
Die Seitenlängen in der CSV sind in Einheiten einer Quadratseite angegeben. DXF und DWG sind in Millimetern, mit Quadraten von 100 mm.
Sie müssen uns nicht vertrauen
Mit reinem Python und ohne weitere Software prüft verify_exact.py neben dem Zertifikat die Datei oben mit exakter Arithmetik, ohne Rundung.
python verify_exact.py 67-squares-in-a-square.csv --squares=67 --reference=8.70710678118654 --epsilon=1e-11Es beweist nicht, dass die Packung optimal ist, dass der Referenzwert der aktuell beste bekannte Wert ist oder wie die Anordnung gefunden wurde.
Kostenloser Testzeitraum
Sieben Tage mit allen Editionen
Installieren Sie Velmar Cut, geben Sie Teile und Rohmaterial eines laufenden Auftrags ein und drucken Sie die Zuschnittliste. Der Testzeitraum beginnt beim ersten Start und braucht weder Konto noch Karte.