Erreicht: der beste bekannte Wert
84 Einheitsquadrate in einem Quadrat packen
Wie klein kann ein Quadrat sein, das 84 Quadrate der Seitenlänge 1 ohne Überlappung aufnimmt? Die beste bekannte Antwort ist die Seitenlänge 9,7071067812, von Evert Stenlund, 1980. Velmar Cut hat sie erreicht.
Die Zahlen
| Beste bekannte Seitenlänge | 9,7071067812 |
|---|---|
| Beste bekannte Seitenlänge, vollständig | 9,70710678118654 |
| Seitenlänge von Velmar Cut | 9,7071067812 |
| Seitenlänge von Velmar Cut, vollständig | 9,707106781190700 |
| Differenz, Velmar Cut minus bester bekannter Wert | +4.160E-12 |
| Gefunden von | Evert Stenlund, 1980 |
| Status | Bester bekannter Wert, nicht bewiesen |
| Zeit bis zum Ergebnis | 13,482 s, ein Lauf, abschließender Schritt für die Exaktheit nicht eingerechnet |
| Verwendete Threads | 8 |
| Rechner | Intel Core i5-12600K, 10 Kerne, 16 Threads |
| Quadrate | 72 aufrecht, 12 gedreht |
| Ein einfaches Raster braucht | Seitenlänge 10 |
Die Zeit des Laufs auf einem Desktop-PC. Danach folgte ein abschließender Schritt für die Exaktheit, der nicht eingerechnet ist.
Das Problem bei 84 Quadraten
Drei Quadrate mehr, als ein Raster der Seitenlänge 9 fasst, also braucht das einfache Raster Seitenlänge 10. Diese Anordnung hat zwölf Quadrate bei 45 Grad und zweiundsiebzig aufrechte. Die Seitenlänge 9 + ½√2 ist genau eins größer als bei 67 und hat dieselbe Form wie bei 27, 38 und 52.
Ein einfaches Raster: Seitenlänge 10
Bester bekannter Wert: Seitenlänge 9,7071067812
Blaue Quadrate stehen aufrecht, orange Quadrate sind gedreht. Beide Bilder haben denselben Maßstab.
Geschichte
Der beste bekannte Wert bei dieser Größe ist das Ergebnis von Evert Stenlund, 1980, und dieses Ergebnis hat Velmar Cut erreicht.
Bester bekannter Wert, nicht bewiesen: In Friedmans Übersicht von 2009 lag die beste untere Schranke bei 9,2667 (Trevor Green), ein kleineres Quadrat ist also nicht ausgeschlossen.
Die Packung von Evert Stenlund erweitert die 52-Quadrate-Packung, die Frits Göbel Anfang 1979 fand. Die Übersicht von Erich Friedman aus dem Jahr 2009 führt diese Größe unter Göbels Namen, die heutige Tabelle nennt Stenlund. Dieselbe Seitenlänge ergibt sich auch, wenn man diese 52-Quadrate-Packung um zwei L-Formen ergänzt.
| Wann | Seitenlänge | Wer | Was geschah |
|---|---|---|---|
| Anfang 1980 | 9 + ½√2 ≈ 9,70711 | Evert Stenlund | erweitert Göbels 52-Quadrate-Packung, heute bester bekannter Wert |
| 2005 | gleiche Seitenlänge | David W. Cantrell | Alternative mit den wenigsten gedrehten Quadraten |
Quellen
Die besten bekannten Werte stammen aus „Squares in Squares“ von David Ellsworth, nach dem Original von Erich Friedman.
Zu jeder Größe steht, von wem ihr Wert stammt und seit wann. Deren Ergebnis hat Velmar Cut erreicht.
Ist die Packung gültig?
Ja. Das Zertifikat besteht die exakte Prüfung: 84 Teile, jedes exakt ein Einheitsquadrat, jedes im Rahmen, keine zwei überlappend.
Wie nah ist sie am besten bekannten Wert?
Seitenlänge von Velmar Cut minus bester bekannter Wert ergibt +4.160E-12, innerhalb der 1E-11 aus der Regel.
Erreicht heißt: Das Zertifikat besteht die exakte Prüfung, und |L - bester bekannter Wert| <= 1E-11, wobei die Differenz für jede Größe ungerundet veröffentlicht wird. L ist die Seitenlänge des Rahmens im Zertifikat, auf 15 Dezimalstellen aufgerundet.
Downloads
Die Seitenlängen in der CSV sind in Einheiten einer Quadratseite angegeben. DXF und DWG sind in Millimetern, mit Quadraten von 100 mm.
Sie müssen uns nicht vertrauen
Mit reinem Python und ohne weitere Software prüft verify_exact.py neben dem Zertifikat die Datei oben mit exakter Arithmetik, ohne Rundung.
python verify_exact.py 84-squares-in-a-square.csv --squares=84 --reference=9.70710678118654 --epsilon=1e-11Es beweist nicht, dass die Packung optimal ist, dass der Referenzwert der aktuell beste bekannte Wert ist oder wie die Anordnung gefunden wurde.
Kostenloser Testzeitraum
Sieben Tage mit allen Editionen
Installieren Sie Velmar Cut, geben Sie Teile und Rohmaterial eines laufenden Auftrags ein und drucken Sie die Zuschnittliste. Der Testzeitraum beginnt beim ersten Start und braucht weder Konto noch Karte.