Erreicht: der beste bekannte Wert
5 Einheitsquadrate in einem Quadrat packen
Wie klein kann ein Quadrat sein, das 5 Quadrate der Seitenlänge 1 ohne Überlappung aufnimmt? Die beste bekannte Antwort ist die Seitenlänge 2,7071067812, von Frits Göbel, 1979. Velmar Cut hat sie erreicht.
Die Zahlen
| Beste bekannte Seitenlänge | 2,7071067812 |
|---|---|
| Beste bekannte Seitenlänge, vollständig | 2,70710678118654 |
| Seitenlänge von Velmar Cut | 2,7071067812 |
| Seitenlänge von Velmar Cut, vollständig | 2,707106781186910 |
| Differenz, Velmar Cut minus bester bekannter Wert | +3.700E-13 |
| Gefunden von | Frits Göbel, 1979 |
| Status | Als optimal bewiesen |
| Zeit bis zum Ergebnis | 0,05 s, ein Lauf |
| Verwendete Threads | 16 |
| Rechner | Intel Core i5-12600K, 10 Kerne, 16 Threads |
| Quadrate | 4 aufrecht, 1 gedreht |
| Ein einfaches Raster braucht | Seitenlänge 3 |
Die Zeit bis zu diesem Ergebnis auf einem Desktop-PC.
Das Problem bei 5 Quadraten
Bei fünf Quadraten ist ein einfaches Raster zum ersten Mal nicht das Beste, denn ein bis vier Quadrate haben alle ganzzahlige Seitenlängen. Das Raster braucht Seitenlänge 3. Diese Anordnung mit vier aufrechten Quadraten und einem um 45 Grad gedrehten kommt mit 2 + ½√2 aus.
Ein einfaches Raster: Seitenlänge 3
Bester bekannter Wert: Seitenlänge 2,7071067812
Blaue Quadrate stehen aufrecht, orange Quadrate sind gedreht. Beide Bilder haben denselben Maßstab.
Geschichte
Der beste bekannte Wert bei dieser Größe ist das Ergebnis von Frits Göbel, 1979, und dieses Ergebnis hat Velmar Cut erreicht.
Als optimal bewiesen von Frits Göbel.
Nach dem Beweis von Frits Göbel enthält auch die Übersicht von Erich Friedman aus dem Jahr 2009 einen recht einfachen Beweis. Die Packung ist starr: Sie lässt sich nicht in eine andere gültige Packung überführen, ohne die Größe des umgebenden Quadrats zu ändern.
| Wann | Seitenlänge | Wer | Was geschah |
|---|---|---|---|
| Anfang 1979 | 2 + ½√2 ≈ 2,70711 | Frits Göbel | gefunden und als optimal bewiesen, starr |
Quellen
Die besten bekannten Werte stammen aus „Squares in Squares“ von David Ellsworth, nach dem Original von Erich Friedman.
Zu jeder Größe steht, von wem ihr Wert stammt und seit wann. Deren Ergebnis hat Velmar Cut erreicht.
Ist die Packung gültig?
Ja. Das Zertifikat besteht die exakte Prüfung: 5 Teile, jedes exakt ein Einheitsquadrat, jedes im Rahmen, keine zwei überlappend.
Wie nah ist sie am besten bekannten Wert?
Seitenlänge von Velmar Cut minus bester bekannter Wert ergibt +3.700E-13, innerhalb der 1E-11 aus der Regel.
Erreicht heißt: Das Zertifikat besteht die exakte Prüfung, und |L - bester bekannter Wert| <= 1E-11, wobei die Differenz für jede Größe ungerundet veröffentlicht wird. L ist die Seitenlänge des Rahmens im Zertifikat, auf 15 Dezimalstellen aufgerundet.
Downloads
Die Seitenlängen in der CSV sind in Einheiten einer Quadratseite angegeben. DXF und DWG sind in Millimetern, mit Quadraten von 100 mm.
Sie müssen uns nicht vertrauen
Mit reinem Python und ohne weitere Software prüft verify_exact.py neben dem Zertifikat die Datei oben mit exakter Arithmetik, ohne Rundung.
python verify_exact.py 5-squares-in-a-square.csv --squares=5 --reference=2.70710678118654 --epsilon=1e-11Es beweist nicht, dass die Packung optimal ist, dass der Referenzwert der aktuell beste bekannte Wert ist oder wie die Anordnung gefunden wurde.
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Installieren Sie Velmar Cut, geben Sie Teile und Rohmaterial eines laufenden Auftrags ein und drucken Sie die Zuschnittliste. Der Testzeitraum beginnt beim ersten Start und braucht weder Konto noch Karte.