Erreicht: der beste bekannte Wert
40 Einheitsquadrate in einem Quadrat packen
Wie klein kann ein Quadrat sein, das 40 Quadrate der Seitenlänge 1 ohne Überlappung aufnimmt? Die beste bekannte Antwort ist die Seitenlänge 6,8284271247, von Frits Göbel, 1979. Velmar Cut hat sie erreicht.
Die Zahlen
| Beste bekannte Seitenlänge | 6,8284271247 |
|---|---|
| Beste bekannte Seitenlänge, vollständig | 6,82842712474619 |
| Seitenlänge von Velmar Cut | 6,8284271247 |
| Seitenlänge von Velmar Cut, vollständig | 6,828427124747490 |
| Differenz, Velmar Cut minus bester bekannter Wert | +1.300E-12 |
| Gefunden von | Frits Göbel, 1979 |
| Status | Bester bekannter Wert, nicht bewiesen |
| Zeit bis zum Ergebnis | 0,166 s, ein Lauf |
| Verwendete Threads | 16 |
| Rechner | Intel Core i5-12600K, 10 Kerne, 16 Threads |
| Quadrate | 24 aufrecht, 16 gedreht |
| Ein einfaches Raster braucht | Seitenlänge 7 |
Die Zeit bis zu diesem Ergebnis auf einem Desktop-PC.
Das Problem bei 40 Quadraten
In dieser Anordnung sind sechzehn der vierzig Quadrate gedreht, alle um 45 Grad, die übrigen vierundzwanzig stehen aufrecht. Das ergibt 4 + 2√2 gegenüber 7 beim einfachen Raster. Wie die Form bei 66 kommt diese ohne Brüche aus.
Ein einfaches Raster: Seitenlänge 7
Bester bekannter Wert: Seitenlänge 6,8284271247
Blaue Quadrate stehen aufrecht, orange Quadrate sind gedreht. Beide Bilder haben denselben Maßstab.
Geschichte
Der beste bekannte Wert bei dieser Größe ist das Ergebnis von Frits Göbel, 1979, und dieses Ergebnis hat Velmar Cut erreicht.
Die Quelltabelle nennt keinen Beweis, dass diese Seitenlänge optimal ist: Friedmans Übersicht von 2009 nennt 6,4061 als beste untere Schranke (Trevor Green), ein kleineres Quadrat kann also noch existieren.
Das ist ein Göbel-Quadrat, nach der Konstruktion von Frits Göbel: in der Mitte ein Block aus 4 mal 4 Quadraten bei 45 Grad, innerhalb von vier Treppen. Die erste 53-Quadrate-Packung von Evert Stenlund ergänzte es um eine L-Form. Die Packung ist starr: Solange das umgebende Quadrat seine Größe behält, kann daraus keine andere gültige Packung werden.
| Wann | Seitenlänge | Wer | Was geschah |
|---|---|---|---|
| Anfang 1979 | 4 + 2√2 ≈ 6,82843 | Frits Göbel | gefunden, heute bester bekannter Wert, starr |
Quellen
Die besten bekannten Werte stammen aus „Squares in Squares“ von David Ellsworth, nach dem Original von Erich Friedman.
Zu jeder Größe steht, von wem ihr Wert stammt und seit wann. Deren Ergebnis hat Velmar Cut erreicht.
Ist die Packung gültig?
Ja. Das Zertifikat besteht die exakte Prüfung: 40 Teile, jedes exakt ein Einheitsquadrat, jedes im Rahmen, keine zwei überlappend.
Wie nah ist sie am besten bekannten Wert?
Seitenlänge von Velmar Cut minus bester bekannter Wert ergibt +1.300E-12, innerhalb der 1E-11 aus der Regel.
Erreicht heißt: Das Zertifikat besteht die exakte Prüfung, und |L - bester bekannter Wert| <= 1E-11, wobei die Differenz für jede Größe ungerundet veröffentlicht wird. L ist die Seitenlänge des Rahmens im Zertifikat, auf 15 Dezimalstellen aufgerundet.
Downloads
Die Seitenlängen in der CSV sind in Einheiten einer Quadratseite angegeben. DXF und DWG sind in Millimetern, mit Quadraten von 100 mm.
Sie müssen uns nicht vertrauen
Mit reinem Python und ohne weitere Software prüft verify_exact.py neben dem Zertifikat die Datei oben mit exakter Arithmetik, ohne Rundung.
python verify_exact.py 40-squares-in-a-square.csv --squares=40 --reference=6.82842712474619 --epsilon=1e-11Es beweist nicht, dass die Packung optimal ist, dass der Referenzwert der aktuell beste bekannte Wert ist oder wie die Anordnung gefunden wurde.
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Installieren Sie Velmar Cut, geben Sie Teile und Rohmaterial eines laufenden Auftrags ein und drucken Sie die Zuschnittliste. Der Testzeitraum beginnt beim ersten Start und braucht weder Konto noch Karte.