Erreicht: der beste bekannte Wert
65 Einheitsquadrate in einem Quadrat packen
Wie klein kann ein Quadrat sein, das 65 Quadrate der Seitenlänge 1 ohne Überlappung aufnimmt? Die beste bekannte Antwort ist die Seitenlänge 8,5355339059, von Frits Göbel, 1979. Velmar Cut hat sie erreicht.
Die Zahlen
| Beste bekannte Seitenlänge | 8,5355339059 |
|---|---|
| Beste bekannte Seitenlänge, vollständig | 8,53553390593273 |
| Seitenlänge von Velmar Cut | 8,5355339059 |
| Seitenlänge von Velmar Cut, vollständig | 8,535533905934290 |
| Differenz, Velmar Cut minus bester bekannter Wert | +1.560E-12 |
| Gefunden von | Frits Göbel, 1979 |
| Status | Bester bekannter Wert, nicht bewiesen |
| Zeit bis zum Ergebnis | 0,922 s, ein Lauf |
| Verwendete Threads | 16 |
| Rechner | Intel Core i5-12600K, 10 Kerne, 16 Threads |
| Quadrate | 40 aufrecht, 25 gedreht |
| Ein einfaches Raster braucht | Seitenlänge 9 |
Die Zeit bis zu diesem Ergebnis auf einem Desktop-PC.
Das Problem bei 65 Quadraten
Reihen brauchen Seitenlänge 9, weil ein Quadrat mehr unterzubringen ist, als ein Raster der Seitenlänge 8 fasst. Diese Anordnung mit fünfundzwanzig um 45 Grad gedrehten und vierzig aufrechten Quadraten kommt mit 5 + (5/2)√2 aus. Dieselben (5/2)√2 kehren bei 82 wieder.
Ein einfaches Raster: Seitenlänge 9
Bester bekannter Wert: Seitenlänge 8,5355339059
Blaue Quadrate stehen aufrecht, orange Quadrate sind gedreht. Beide Bilder haben denselben Maßstab.
Geschichte
Der beste bekannte Wert bei dieser Größe ist das Ergebnis von Frits Göbel, 1979, und dieses Ergebnis hat Velmar Cut erreicht.
Die Quelltabelle nennt keinen Beweis, dass diese Seitenlänge optimal ist: Friedmans Übersicht von 2009 nennt 8,2899 als beste untere Schranke (Trevor Green), ein kleineres Quadrat kann also noch existieren.
Die Packung von Frits Göbel ist ein Göbel-Quadrat mit einem Block aus 5 mal 5 Quadraten bei 45 Grad, und die Packung bei 82 baut auf ihr auf.
| Wann | Seitenlänge | Wer | Was geschah |
|---|---|---|---|
| Anfang 1979 | 5 + (5/2)√2 ≈ 8,53553 | Frits Göbel | gefunden, heute bester bekannter Wert |
| Juni 2023 | gleiche Seitenlänge | David Ellsworth | Umordnung mit den wenigsten gedrehten Quadraten |
Quellen
Die besten bekannten Werte stammen aus „Squares in Squares“ von David Ellsworth, nach dem Original von Erich Friedman.
Zu jeder Größe steht, von wem ihr Wert stammt und seit wann. Deren Ergebnis hat Velmar Cut erreicht.
Ist die Packung gültig?
Ja. Das Zertifikat besteht die exakte Prüfung: 65 Teile, jedes exakt ein Einheitsquadrat, jedes im Rahmen, keine zwei überlappend.
Wie nah ist sie am besten bekannten Wert?
Seitenlänge von Velmar Cut minus bester bekannter Wert ergibt +1.560E-12, innerhalb der 1E-11 aus der Regel.
Erreicht heißt: Das Zertifikat besteht die exakte Prüfung, und |L - bester bekannter Wert| <= 1E-11, wobei die Differenz für jede Größe ungerundet veröffentlicht wird. L ist die Seitenlänge des Rahmens im Zertifikat, auf 15 Dezimalstellen aufgerundet.
Downloads
Die Seitenlängen in der CSV sind in Einheiten einer Quadratseite angegeben. DXF und DWG sind in Millimetern, mit Quadraten von 100 mm.
Sie müssen uns nicht vertrauen
Mit reinem Python und ohne weitere Software prüft verify_exact.py neben dem Zertifikat die Datei oben mit exakter Arithmetik, ohne Rundung.
python verify_exact.py 65-squares-in-a-square.csv --squares=65 --reference=8.53553390593273 --epsilon=1e-11Es beweist nicht, dass die Packung optimal ist, dass der Referenzwert der aktuell beste bekannte Wert ist oder wie die Anordnung gefunden wurde.
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Installieren Sie Velmar Cut, geben Sie Teile und Rohmaterial eines laufenden Auftrags ein und drucken Sie die Zuschnittliste. Der Testzeitraum beginnt beim ersten Start und braucht weder Konto noch Karte.