Velmar
HR
Besplatna proba

Velmar Cut

Pregled 1D rezanje 2D rezanje i slaganje Nesting rupa preko rupe Projekti Skladište i ostaci Izvještaji i izvoz Galerija AI asistenti (MCP) Crtanje dijelova bez CAD-a

Vodiči

Kako koristiti Velmar Cut 1D: šipke i profili 2D: limovi i slaganje Crtanje i uređivanje dijelova
Cijene Preuzimanje Česta pitanja O nama Partneri Kontakt Moje licence Preuzmite besplatnu probu

Klasičan geometrijski zadatak

Slaganje kvadrata u kvadrat

Koliki je najmanji kvadrat za n kvadrata stranice 1, bez preklapanja? Obična mreža često nije odgovor. Naš program Velmar Cut izjednačio je najbolju poznatu duljinu stranice na veličinama na kojima ona nije cijeli broj (ukupno 26), a uz svaku su slika, CAD datoteke, vrijeme i provjera koju možete sami pokrenuti.

Rezultati Provjerite sami
17 kvadrata u kvadratu stranice 4,6755300936: uspravnih 10, zakrenutih 7

Zadatak

Treba složiti n kvadrata stranice 1 u što manji kvadrat, tako da se nijedan ne preklapa.

Često se može bolje od obične mreže: ako se neki kvadrati zakrenu, dovoljan je manji kvadrat. Zato ovi brojevi izgledaju čudno, s dugim decimalama umjesto cijelih brojeva.

Obična mreža: duljina stranice 5

17 kvadrata u uspravnim redovima, u kvadratu stranice 5
U uspravnim redovima za 17 kvadrata treba kvadrat stranice 5.

Najbolja poznata duljina stranice: 4,6755300936

17 kvadrata u kvadratu stranice 4,6755300936: uspravnih 10, zakrenutih 7
Raspored iz našeg programa Velmar Cut, s najboljom poznatom duljinom stranice (John Bidwell, 1998).

Plavi kvadrati stoje uspravno, narančasti su zakrenuti. Obje su slike u istom mjerilu.

Veličine koje je izjednačio naš program Velmar Cut

Veličine na kojima je rezultat našeg programa Velmar Cut jednak najboljoj poznatoj vrijednosti, a ta vrijednost nije cijeli broj. Ukupno: 26.

Kvadrata Najbolja poznata duljina stranice Velmar Cut Razlika Autor Vrijeme do rezultata Niti
5 2,7071067812 2,7071067812 +3.700E-13 Frits Göbel, 1979 0,05 s, jedno pokretanje 16
10 3,7071067812 3,7071067812 +5.700E-13 Frits Göbel, 1979 0,075 s, jedno pokretanje 16
11 3,8770835900 3,8770835900 +5.800E-13 Walter Trump, 1979 1,762 s, jedno pokretanje 16
17 4,6755300936 4,6755300936 +7.500E-13 John Bidwell, 1998 4,838 s, jedno pokretanje 16
18 4,8228756555 4,8228756555 +8.200E-13 Pertti Hämäläinen, 1980 0,471 s, jedno pokretanje 16
19 4,8856180832 4,8856180832 +8.050E-13 Robert Wainwright, 1979 13,528 s, jedno pokretanje 16
26 5,6213203436 5,6213203436 +9.700E-13 Erich Friedman, 1997 1,226 s, jedno pokretanje 16
27 5,7071067812 5,7071067812 +1.065E-12 Frits Göbel, 1979 0,837 s, jedno pokretanje 16
28 5,8244446167 5,8244446167 +1.105E-12 David Ellsworth, 2025 ukupno 3238,437 s, više pokretanja 4 ili više
29 5,9338334627 5,9338334627 +1.045E-12 Thomas Schadt, optimizirao David Ellsworth, 2025 14,006 s, jedno pokretanje 16
37 6,5986196092 6,5986196092 +1.670E-12 David W. Cantrell, 2002 39,892 s, jedno pokretanje 16
38 6,7071067812 6,7071067812 +1.470E-12 Frits Göbel, 1979 2,116 s, jedno pokretanje 16
39 6,8107220831 6,8107220831 +1.220E-12 Thomas Schadt, optimizirao David Ellsworth, 2026 ukupno 1134,659 s, više pokretanja 4 ili više
40 6,8284271247 6,8284271247 +1.300E-12 Frits Göbel, 1979 0,166 s, jedno pokretanje 16
41 6,9266930945 6,9266930945 +1.545E-12 Thomas Schadt, optimizirao David Ellsworth, 2026 ukupno 1660,447 s, više pokretanja 4 ili više
50 7,5714285714 7,5714285714 +4.101E-12 Thomas Schadt, optimizirao David Ellsworth, 2025 ukupno 656,624 s, više pokretanja 8 ili više
52 7,7071067812 7,7071067812 +1.755E-12 Frits Göbel, 1979 1,011 s, jedno pokretanje 8
53 7,8228756555 7,8228756555 +1.645E-12 David Ellsworth, 2026 86,758 s, jedno pokretanje 8
65 8,5355339059 8,5355339059 +1.560E-12 Frits Göbel, 1979 0,922 s, jedno pokretanje 16
66 8,6568542495 8,6568542495 +1.820E-12 Evert Stenlund, 1980 15,243 s, jedno pokretanje 8
67 8,7071067812 8,7071067812 +4.083E-12 Evert Stenlund, 1980 2,907 s, jedno pokretanje 8
70 8,8816667570 8,8816667570 +3.675E-12 Joe DeVincentis, 2014 ukupno 1089,879 s, više pokretanja 4 ili više
82 9,5355339059 9,5355339059 +5.310E-12 Frits Göbel, 1979 65,524 s, jedno pokretanje 8
84 9,7071067812 9,7071067812 +4.160E-12 Evert Stenlund, 1980 13,482 s, jedno pokretanje završni korak za točnost nije uračunat 8
85 9,7426406871 9,7426406871 +2.690E-12 Erich Friedman, 1997 64,973 s, jedno pokretanje 8
89 9,9497474683 9,9497474683 +2.815E-12 Evert Stenlund, 1980 96,19 s, jedno pokretanje 8

Ovo su vremena do rezultata na jednom stolnom računalu, Intel Core i5-12600K, 10 jezgri, 16 niti. U svakom je retku navedeno koliko je niti korišteno.

Navedene su samo veličine na kojima je rezultat našeg programa Velmar Cut jednak najboljoj poznatoj vrijednosti. Za sve ostale ne tvrdimo ništa.

5 kvadrata u kvadratu stranice 2,7071067812 5 kvadrata: duljina stranice 2,7071067812 10 kvadrata u kvadratu stranice 3,7071067812 10 kvadrata: duljina stranice 3,7071067812 11 kvadrata u kvadratu stranice 3,8770835900 11 kvadrata: duljina stranice 3,8770835900 17 kvadrata u kvadratu stranice 4,6755300936 17 kvadrata: duljina stranice 4,6755300936 18 kvadrata u kvadratu stranice 4,8228756555 18 kvadrata: duljina stranice 4,8228756555 19 kvadrata u kvadratu stranice 4,8856180832 19 kvadrata: duljina stranice 4,8856180832 26 kvadrata u kvadratu stranice 5,6213203436 26 kvadrata: duljina stranice 5,6213203436 27 kvadrata u kvadratu stranice 5,7071067812 27 kvadrata: duljina stranice 5,7071067812 28 kvadrata u kvadratu stranice 5,8244446167 28 kvadrata: duljina stranice 5,8244446167 29 kvadrata u kvadratu stranice 5,9338334627 29 kvadrata: duljina stranice 5,9338334627 37 kvadrata u kvadratu stranice 6,5986196092 37 kvadrata: duljina stranice 6,5986196092 38 kvadrata u kvadratu stranice 6,7071067812 38 kvadrata: duljina stranice 6,7071067812 39 kvadrata u kvadratu stranice 6,8107220831 39 kvadrata: duljina stranice 6,8107220831 40 kvadrata u kvadratu stranice 6,8284271247 40 kvadrata: duljina stranice 6,8284271247 41 kvadrata u kvadratu stranice 6,9266930945 41 kvadrata: duljina stranice 6,9266930945 50 kvadrata u kvadratu stranice 7,5714285714 50 kvadrata: duljina stranice 7,5714285714 52 kvadrata u kvadratu stranice 7,7071067812 52 kvadrata: duljina stranice 7,7071067812 53 kvadrata u kvadratu stranice 7,8228756555 53 kvadrata: duljina stranice 7,8228756555 65 kvadrata u kvadratu stranice 8,5355339059 65 kvadrata: duljina stranice 8,5355339059 66 kvadrata u kvadratu stranice 8,6568542495 66 kvadrata: duljina stranice 8,6568542495 67 kvadrata u kvadratu stranice 8,7071067812 67 kvadrata: duljina stranice 8,7071067812 70 kvadrata u kvadratu stranice 8,8816667570 70 kvadrata: duljina stranice 8,8816667570 82 kvadrata u kvadratu stranice 9,5355339059 82 kvadrata: duljina stranice 9,5355339059 84 kvadrata u kvadratu stranice 9,7071067812 84 kvadrata: duljina stranice 9,7071067812 85 kvadrata u kvadratu stranice 9,7426406871 85 kvadrata: duljina stranice 9,7426406871 89 kvadrata u kvadratu stranice 9,9497474683 89 kvadrata: duljina stranice 9,9497474683

Gdje je odgovor obična mreža

Kad je najbolja poznata duljina stranice cijeli broj, odgovor je obična mreža. Te su veličine trivijalne, pa uz njih nema vremena i nisu postignuće našeg programa Velmar Cut.

Duljina stranice Kvadrata Dokazano optimalno
1 1 Nije naveden
2 2, 3, 4 2: Frits Göbel, 1979; 3: Frits Göbel, 1979
3 6, 7, 8, 9 6: Michael Kearney and Peter Shiu, 2001; 7: Erich Friedman, 1999; 8: Erich Friedman, 1999
4 12, 13, 14, 15, 16 13: Wolfram Bentz, 2009; 14: Erich Friedman, 1999; 15: Erich Friedman, 1999
5 20, 21, 22, 23, 24, 25 22: Wolfram Bentz, 2018; 23: Hiroshi Nagamochi, 2005; 24: Erich Friedman, 1999
6 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36 33: Wolfram Bentz, 2018; 34: Hiroshi Nagamochi, 2005; 35: Erich Friedman, 1999
7 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49 46: Wolfram Bentz, 2009; 47: Hiroshi Nagamochi, 2005; 48: Hiroshi Nagamochi, 2005
8 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64 62: Hiroshi Nagamochi, 2005; 63: Hiroshi Nagamochi, 2005
9 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81 79: Hiroshi Nagamochi, 2005; 80: Hiroshi Nagamochi, 2005
10 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100 98: Hiroshi Nagamochi, 2005; 99: Hiroshi Nagamochi, 2005

Navedeni dokazi teoremi su tih autora, a ne rezultati našeg programa Velmar Cut.

Dva zasebna pitanja

Je li raspored valjan i koliko je blizu najboljoj poznatoj vrijednosti dvije su različite stvari, pa se na njih i odgovara zasebno.

Je li raspored valjan?

Egzaktno da ili ne: svaki je komad kvadrat stranice 1, svaki je unutar okvira, nijedna se dva ne preklapaju i broj komada je točan. Referentna vrijednost tu nema nikakve uloge.

Koliko je blizu najboljoj poznatoj vrijednosti?

To je zasebno mjerenje: razlika između duljine stranice iz našeg programa Velmar Cut i najbolje poznate vrijednosti, nezaokružena, za svaku veličinu. Raspored može biti valjan, a da je ipak ne izjednači.

Izjednačenje: certifikat prolazi egzaktnu provjeru, a |L - najbolja poznata| <= 1E-11, pri čemu je razlika objavljena nezaokružena za svaku veličinu. L je duljina stranice okvira iz certifikata, zaokružena naviše na 15 decimala.

Ne morate nam vjerovati na riječ

Provjeru može pokrenuti svatko, samo s Pythonom i bez ikakvog drugog softvera. Ponovno se provjerava svaki rezultat, egzaktnom racionalnom aritmetikom, bez zaokruživanja.

Preuzmite i raspakirajte arhivu, a zatim provjerite sve:

python verify_exact.py --records=records.json

Provjera jedne veličine:

python verify_exact.py 17/17-squares-in-a-square.csv --squares=17 --reference=4.67553009360455 --epsilon=1e-11

U test_verify_exact.py testira se sama provjera, pa i to da odbija zaokružene kutove i pomiješane datoteke.

Što dokazuje

  • Svaki je komad točno kvadrat stranice 1. Zadan je središtem i vrijednošću t = tan(pola zakreta), pa su cos i sin egzaktni.
  • Svaki je komad unutar okvira stranice L.
  • Nijedna dva komada nemaju zajedničkih unutarnjih točaka. Dodirivanje je dopušteno.
  • Broj komada je točan.
  • |L - referentna vrijednost| unutar je navedenog epsilona.

Što ne dokazuje

  • Da je raspored optimalan.
  • Da je referentna vrijednost trenutačno najbolja poznata.
  • Kako je raspored pronađen.

Datoteke

Svi rezultati (ZIP) Svi rezultati u jednoj arhivi: records.json, skripta za provjeru, njezini testovi i datoteke svih veličina. square-packing-results.zip · 1,0 MB records.json Brojevi za svaku veličinu, pravilo i izvor. records.json · 66 KB verify_exact.py Skripta za provjeru. verify_exact.py · 9 KB test_verify_exact.py Testovi skripte za provjeru. test_verify_exact.py · 4 KB verification.txt Ispis provjere za svaku veličinu. verification.txt · 18 KB

Izvori

Najbolje poznate vrijednosti preuzete su iz tablice „Squares in Squares“ koju vodi David Ellsworth, prema izvorniku Ericha Friedmana.

Uz svaku je veličinu naveden autor vrijednosti i godina. Njihov rezultat izjednačuje naš program Velmar Cut.

Otvori tablicu Stariji i alternativni rasporedi, David Ellsworth Pregled Ericha Friedmana, „Packing Unit Squares in Squares“, Electronic Journal of Combinatorics Packing Center Ericha Friedmana

Pitanja

Koliki je najmanji kvadrat za n kvadrata stranice 1?

Ovisi o broju n. Za neke je n najbolji poznati odgovor obična mreža, a za druge raspored sa zakrenutim kvadratima. Duljina stranice za svaku veličinu navedena je u tablicama.

Zašto brojevi izgledaju tako čudno?

Kad se kvadrati zakrenu, pojavljuju se duljine poput ½√2, a na nekim je veličinama stranica nultočka polinoma bez ikakvog urednog zapisa. Zapisani decimalno, takvi brojevi nemaju kraja.

Jesu li ovi rezultati bolji od najboljih poznatih vrijednosti?

Nisu. Prema pravilu na ovoj stranici rezultati našeg programa Velmar Cut jednaki su im. Mala razlika u tablici znači da je duljina stranice iz Velmar Cuta neznatno veća. Nikad nije ispod referentne vrijednosti.

Dokazuje li izjednačenje da je to najmanji mogući kvadrat?

Ne. Za većinu veličina dokaz nije naveden. U izvornoj su tablici označene one za koje jest.

Zašto neke veličine nedostaju?

Navedene su samo veličine na kojima je rezultat našeg programa Velmar Cut jednak najboljoj poznatoj vrijednosti. Za sve ostale ne tvrdimo ništa.

Besplatna proba

Sedam dana sa svim izdanjima

Instalirajte Velmar Cut, unesite dijelove i zalihu tekućeg posla i ispišite plan rezanja. Proba počinje pri prvom pokretanju i ne traži korisnički račun ni karticu.

Preuzmite besplatnu probu Pogledajte cijene